首先要聲明一下，這篇文章不是要解答或表示個人想法或觀點。
反而是希望透過集結各路菁英的網路也順便幫我解惑
網友 pda 提出了以下的問題：
忠孝兄您好，我想請問您有關於股息折現公式的問題，就是透過股息折現公式計算出來的報酬率，有包含每年股息的再投入嗎（就是以每年的股息都有再進場買股票為前提計算出的報酬率）? 還是晾在一旁沒有投入呢? 有人認為沒有，不過就公式看起來我覺得應該是有才對，所以特來請教您一下。謝謝~ ^^
前一陣子在巴菲特班的討論中，這可是一個極度熱門的話題，不過在各方正反兩方各擁證據下，這問題似乎沒有一個明確的解答。說實在的，我個人對於估值僅限於應用階段，原理當然還是會試圖瞭解，但是像標題這麼深入的問題，我還真沒仔細用心思考過，主要是本著巴菲特說：「寧願模糊的對也不要精確的錯」，所以過去對這樣的問題就不是很介意了。
不過既然有網友提出，我還是很好奇地想辦法驗證一下。因此透過 Excel 來試著尋求答案：
上圖中 B1 的公式已經顯示於 A1 中，計算期初付出一百元後，往後每年都可以領到 十元的配息，五年期滿後連同本金領回 110，IRR 函數計算這個投資的內部報酬率為 10%。很明顯地，這屬於領息不再投入(單利)的投資，而右邊則同樣是以 10% 的利率且每年還將10%的利息收入再投入的投資(複利)，第五年後領回 161.051 元。
有意思的是，左邊領息不再投入的投資，計算年化報酬時卻只有 8.45%，而右邊領息再投入的年化報酬率確切的答案正好是 10%。所以 IRR 有隱含再投入的意思嗎？從上面這例子來看，似乎並沒有。
但是！！！在我尋尋覓覓答案的過程中，皇天不負苦心人讓我從這個部落格(brandonkhlin / NPV IRR MIRR)看到下面這一段：
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也可以用另一個角度看這IRR，用最簡單的報酬率觀念來檢視，就是假設只有兩筆現金流量，一個是期初投入(PV)，另一個是以利率R經過n期後的期末淨值(FV) 因為FV = PV*(1 + R)n R = (FV/PV)1/n -1 -----------(3) 在上面例子裡n等於5年，PV是100萬。然後將期中每年分批之現金流入以IRR (21.14%)成長到第5年，期末淨值FV： 套上式子(3)，年化報酬率R =(2608802/1000000)^(1/5) - 1 = 21.14% 上面的結論顯示：內部報酬率隱含著每年分批進來的現金流入(收入)，都以IRR的利率成長至期末，所換算回來的年化投資報酬率。 |
該篇解釋 NPV、IRR、MIRR 的說明挺清楚的，而且還一步步演算，立論也很明瞭，何況既然有 MIRR 的出現，正說明 IRR 有其不切實際之處。
只是我就很難理解何以我上面所設定領息不再投入的例子怎麼會有 B1 跟 C14 的差異呢？原因為何？ 還請更聰明的網友大眾們給予指教，不吝感激！
2010/07/20
經由網友 IcySwordRain 的提醒，我在原來的範例圖檔中新增 F 欄的情況。由於 IRR 是未來預期現金流量的折現，所以若將原先應該領到的股息收入再投入，那當期的現金流應該為零。而如此在 F1 計算得到的 IRR 的確也是 10%。從這樣的結果我們的確可以歸納出 IRR 本身的計算果然隱含著股息再投入的意涵。
網友 Leon Chen 所引述的資料也提到單純用 IRR 來做投資決策可能遇到的問題。
Excel函數沒有錯，Excel NPV(裡面只放需折現的現金流)，在F1說明裡有函數的正確用法。 「有意思的是，左邊領息不再投入的投資，計算年化報酬時卻只有 8.45%，而右邊領息再投入的年化報酬率確切的答案正好是 10%。所以 IRR 有隱含再投入的意思嗎？從上面這例子來看，似乎並沒有。」 這個部分好像有講反，應該是IRR代表再投入，也就是說B1=E14=10%。這樣的估計會不切實際是因為不是每個人除息當日都會有等量現金再投入相同投資標的。
非常感謝你的指教，經由你的提醒，我修改了原先範例(請見上面附圖)，顯然你的說法是正確的。 另外不知道是什麼原因，導致你有兩篇相同內容的留言，我已經刪除掉其中一篇，特別在此說明一下
Problems with using internal rate of return: As an investment decision tool, the calculated IRR should not be used to rate mutually exclusive projects, but only to decide whether a single project is worth investing in. In cases where one project has a higher initial investment than a second mutually exclusive project, the first project may have a lower IRR (expected return), but a higher NPV (increase in shareholders' wealth) and should thus be accepted over the second project (assuming no capital constraints). IRR assumes reinvestment of interim cash flows in projects with equal rates of return (the reinvestment can be the same project or a different project). Therefore, IRR overstates the annual equivalent rate of return for a project whose interim cash flows are reinvested at a rate lower than the calculated IRR. This presents a problem, especially for high IRR projects, since there is frequently not another project available in the interim that can earn the same rate of return as the first project. When the calculated IRR is higher than the true reinvestment rate for interim cash flows, the measure will overestimate — sometimes very significantly — the annual equivalent return from the project. The formula assumes that the company has additional projects, with equally attractive prospects, in which to invest the interim cash flows.[2] This makes IRR a suitable (and popular) choice for analyzing venture capital and other private equity investments, as these strategies usually require several cash investments throughout the project, but only see one cash outflow at the end of the project (e.g., via IPO or M&A). Since IRR does not consider cost of capital, it should not be used to compare projects of different duration. Modified Internal Rate of Return (MIRR) does consider cost of capital and provides a better indication of a project's efficiency in contributing to the firm's discounted cash flow. In the case of positive cash flows followed by negative ones (+ + - - -) the IRR may have multiple values. In this case a discount rate may be used for the borrowing cash flow and the IRR calculated for the investment cash flow. This applies for example when a customer makes a deposit before a specific machine is built. In a series of cash flows like (-10, 21, -11), one initially invests money, so a high rate of return is best, but then receives more than one possesses, so then one owes money, so now a low rate of return is best. In this case it is not even clear whether a high or a low IRR is better. There may even be multiple IRRs for a single project, like in the example 0% as well as 10%. Examples of this type of project are strip mines and nuclear power plants, where there is usually a large cash outflow at the end of the project. In general, the IRR can be calculated by solving a polynomial equation. Sturm's theorem can be used to determine if that equation has a unique real solution. In general the IRR equation cannot be solved analytically but only iteratively. When a project has multiple IRRs it may be more convenient to compute the IRR of the project with the benefits reinvestmented.[2] Accordingly, MIRR is used, which has an assumed reinvestment rate, usually equal to the project's cost of capital. Despite a strong academic preference for NPV, surveys indicate that executives prefer IRR over NPV [3]. Apparently, managers find it easier to compare investments of different sizes in terms of percentage rates of return than by dollars of NPV. However, NPV remains the "more accurate" reflection of value to the business. IRR, as a measure of investment efficiency may give better insights in capital constrained situations. However, when comparing mutually exclusive projects, NPV is the appropriate measure.
這一段看來比較像是引用，能否請你說明一下出處呢？
希望這有回覆你的疑問 http://blog.pjhuang.net/2010/07/irr.html
感謝 pjhuang 的分享 不過我本來以為自己搞懂了，看了你的文章中這一段 「IRR本身沒有預設所得再投入，有再投入，或沒再投入，都能用IRR來計算，當然有再投入的時候，你不能將領息再投資的錢當做領回(inflow)，而是要在期末才當做領回(inflow)。IRR常讓人以為隱含所得再投入，是當它被用在比較兩個方案時的問題。」 之後，我的腦袋又...混沌了
舉例來說，每年配息的股票，如果沒計算再投入，IRR的計算要含有配息金額的期數；反之，如果計算再投入，這些配息就不列入IRR的計算，因為已經再投入，就不能算作是從投資案中領出。(-10, 1, 11) vs (-10,0,12.1)，一個是沒計算再投入的IRR是10%，後一個是有計算再投入的IRR是10%。相對第二案，第一案第二期領出的1元，有再投資風險。
你這例子跟我附圖中的 B 欄、F 欄的情況應該是相似的。 不過現在的問題癥結是：如果兩種情況(B 跟 F) 得到的 IRR 都是 10%，那我們究竟能不能說 IRR 隱含股息再投入？
不能，因為IRR中，投資案中已領出的錢，就有再投資風險，意思是這筆錢不一定能得到等同原IRR的報酬率。 不過如果投資案是股票時，由於證券交易不像一般投資案，幾乎配息後要馬上再投資都很容易，但是還是不保證，也不隱含股息再投資一定會得到等同原IRR的報酬率。 雖然很多人應該會這麼去假設，過去這支股票給我X報酬率，未來也能給我X報酬率。因此誤以為，過去的IRR，可以預測股息再投資的IRR。
謝謝你的補充。 只是對於何以 B 跟 F 的情況都可以得到相同的答案，不知道是不是我資質駑頓，從你的補充回覆中我還是看不出答案。
IRR本身是用現值計算殖利率, 所以隱含了再投入. 如果是股利再投入報酬率(reinvestment rate)不一樣的case, 可以先算出總現金流的終值, 再與初始投入比較, 計算出總複利報酬率. IRR在計算時並沒有使用reinvestment rate這個變數, 已預設了reinvestment rate與原始投資相同(10%), 故計算出的報酬率與複利累積相同. 假設本金是存在A銀行, A與B銀行皆提供10%利率. 複利: 本金與利息皆存在A累積. IRR: 拿到本金利息後存入B累積, 所以IRR算出的殖利率與複利報酬率相同. C14 : reinvestment rate = 0, 所以每筆股利的終值=10 (100*r*(1+i)^n, r=10%, i=0) r : 原始報酬率 i : reinvestment rate 希望這樣有幫到一些忙.
謝謝你的說明，非常詳盡 只是不知 pjhuang 兄對此有沒有另一種解釋的方式或看法？
也可以從數學結構解釋. a:本金 r:原始報酬率 ar:股利 ar + ar(1+r) + .... + ar(1+r)^n = ar * [ (1+r)^n - 1 ] / (1+r - 1) = a* [ (1+r)^n - 1 ] 以上是所有股利的終值總合, 如再加上期末收回本金a: a* [ (1+r)^n - 1 ] + a = a*(1+r)^n 就等於複利累積數.
對於數學式容易望而生畏的我而言 你這樣推導實在很像魔術師在表演一樣 不過經你這麼描述，倒是更瞭解了，謝謝
B1 & F1 相同的原因，自然是因為再投資報酬率，剛好和IRR相同。但是這並不表示 IRR 隱含再投資報酬率和IRR相同。如果右邊再投資的試算中，再投資的買價浮動(市價浮動)，結果就一定不會是10%。這不表示IRR有這個假設。但是如果再投資報酬率和IRR相同時，沒在投資的IRR就會和股息有再投資的IRR結果相同。
B1 是由公式 IRR(B4:B9) 計算而得，所以這句「B1 & F1 相同的原因，自然是因為再投資報酬率，剛好和IRR相同。但是這並不表示 IRR 隱含再投資報酬率和IRR相同。」似乎顯得有些矛盾。 還是我誤會pjhuang 你的意思了？
其實洪瑞泰班主的文章標題寫得很清楚，IRR不分單利或複利都可以算 ，它的意思就是沒有再投資的IRR，和有再投資的IRR，都存在，兩者相同的條件，就是再投資報酬率和沒有再投資的IRR相同。 B1是沒有再投資的IRR F1是有再投資的IRR B1 & F1 相同的原因，自然是因為再投資報酬率，剛好和IRR相同
以身為一個靠寫程式來餬口的人來判斷，Excel 提供的 IRR 函數應該是不會聰明到可以判斷使用者所輸入的情況是單利或複利，然後再依照個別情況用不同的方式計算。 所以我以為，如果 B1 跟 F1 的結果相同，應該是原來 IRR 就已經隱含了所得再投資的概念，才會有這樣的情況出現。 當然，如果有辦法證實微軟的工程師撰寫的程式碼的確會判斷使用者的意向，進而決定怎麼計算 IRR，那我可能就要改行了 ^^!
想請問版主一個不相干的問題 小弟細看台橡的董監持股，發現其董事結構主要都是靠創投公司或基金會等方式交叉持股，總共10幾%的股權，卻掌握所有的董事席位，而董事長持股數據卻找不到． 請問版主個人會如何看待這樣的公司？ 台橡財報數據都不錯耶
以基金會或投資公司的名義擔任董監事的情況並不少見，這麼安排的原因應該都是基於稅務考量。一般說來，如果持股比例看似不高，但董監席次比例卻很高，這也得靠著想辦法獲得大股東的認同或是根本這些大股東本來就跟董監事有密切關係。這樣的情況其實不需要過於擔心，只要持續注意大股東持股比例的變動情況即可。
概略來說，只要有一組現金流量，就可以計算IRR。 精確一點的說法是，只要一組現金流量只有一次正負號的轉換的話(例如：本題中第零期為現金流出，故為負；之後皆為現金流入，故為正。整體為 -+++++，只有一次性質符號的轉變)，就能算出IRR。
雖然這留言看來是離題了，還是感謝百正撥空來看這篇討論 ^^
推推推
您文章中提到「所得再投入」、 但您在回應中又提到「所得再投資」 這兩者是否有差別呢？
mark 兄看得真仔細，我本來是沒特別在意這兩者的區別，不過看了你的來信之後，不得不清楚說明我的本意是「再投入」，也就是將所得用來投入同一個決策方案，這比較接近我們討論眼前這個關於IRR 是否隱含的原意 。
IRR是一基本的複利公式,指數n次方即代表再投入
個人是以為 n 次方只能表現時間價值的影響，用同樣的折現率 r 對歷年的現金流量作折現才有再投入且獲取同樣報酬率的意涵 vision01 大大言簡意賅，不知本意是否也是如此？
用於房貸,債劵的複利公式與IRR基本相同,IRR只是每期金額變動大,是標準的複利公式,而不是以單利計息後再用複利計算利率(注意單利的公式與複利的公式不同,且利率不同) IRR一看即知是標準複利,直接即是複利的利率 因此基本上n即代表投入多少年,沒有投入,公式中的n即不正確
謝謝補充說明
註解 n表投入多少年 基本上IRR為FV = PV*(1 + R)^n的延伸,將Wikipedia中的IRR公式X(1+R)^n,再思考一下,應可了解.